Sous l'angle des quasi-cristaux

Les mathématiciens savent depuis longtemps qu'il y a seulement 17 types de pavages périodiques du plan, et qu'on les trouve tous dans les Palais de l'Alhambra, à Grenade, réalisés tout au long de la présence islamique en Espagne. Il est ainsi acquis que le pentagone ou l'octogone réguliers ne peuvent paver le plan. Les pavages réguliers s'obtiennent à partir de deux translations répétées à l'infini. Un tel pavage possède souvent des symétries, mais ce n'est jamais celle du pentagone régulier (symétrie d'ordre 5) ni celle de l'octogone régulier (symétrie d'ordre 8).

Pourtant les cristallographes ont obtenu des images étonnantes faisant apparaitre ces symétries d'ordre 5 ou d'ordre 8. Les corps concernés ne sont pas organisés au niveau moléculaire comme un cristal, dont l'image montrerait une organisation de type périodique. C'est pourquoi ils les appellent quasi-cristaux. Denis Gratias a mis à notre disposition les clichés originaux et des exemplaires de tels quasi-cristaux.

Les mathématiciens décrivent les pavages correspondant comme quasi-périodiques. Jean-Marc Castéra a décoré murs et sol avec un tel pavage fait de carrés et de losanges qui permet de retrouver des symétries d'ordre 8 et qui montre aussi une organisation similaire sur plusieurs échelles : carrés et losanges sont faits de carrés et de losanges, eux-mêmes faits de carrés et de losanges. Une borne informatique montre d'ailleurs des films de Jean-Marc Castéra explorant cette mise en abyme. Un jeu de pièces de natures plus variées permet au visiteur d'expérimenter cette mise en abyme : chaque pièce porte sur elle-même le plan de montage permettant de la reproduire en grande taille à l'aide des autres pièces. Décor, vidéo et manipulations rappellent d'ailleurs l'origine islamique de ces pavages.

Un logiciel créé par Patrick Rietmacker, toujours sur la borne informatique, s'inspire du travail de Denis Gratias pour montrer que les pavages quasi-périodiques s'obtiennent par projection en dimension 2 (le plan, ... ou l'écran) de pavages classiques dans des espaces moins classiques pour le visiteur, de dimension supérieure ou égale à 3. A partir de plusieurs vecteurs dans le plan (eux-mêmes projections de vecteurs d'un espace de grande dimension) le logiciel dessine un pavage quasi-périodique.

A vous de venir vous perdre dans ces mises en abyme et de profiter de la beauté des dessins produits par l'artiste, par vos manipulations réelles ou virtuelles.